Límites

Límites

Límite finito

Definición Intervalo cerrado

Un segmento en el eje numérico con extremos a y b, con a < b, se denomina intervalo. Si los puntos extremos, a y b, están incluidos en el intervalo, se dice que el intervalo es cerrado, y se denota por [a,b].
[a,b] = { x perteneciente a R / a <= x <= b }

Intervalo cerrado [a,b]

El intervalo cerrado [a,b] consiste de los puntos x para los cuales a <= x <= b.

Definición Intervalo abierto

Si los puntos extremos se excluyen, el intervalo se llama abierto, y se denota por (a,b).
(a,b) = { x perteneciente a R / a < x < b }

Intervalo abierto (a,b)

El intervalo abierto (a,b) consiste de aquellos puntos x para los cuales a < x < b.
Definición Entorno del punto a de radio δ

Es el intervalo abierto (a - δ,a + δ), esto es, consiste de los valores x para los cuales a - δ < x < a + δ.
Ea,δ = { x perteneciente a R / |x - a| < δ }

Entorno de a de radio δ

Son los puntos x cuya distancia al punto a es menor que δ.
Definición Entorno reducido de a de radio δ

No incluye al punto a.
E*a,δ = { x perteneciente a R / 0 < |x - a| < δ }

Entorno reducido de a

Son los puntos x cuya distancia al punto a es menor que δ pero mayor que 0, es decir, no se incluye a a.
El concepto de Límite

Consideremos la función f(x)=x2.

Observemos los valores de f(x) para x cercanos a 3.

x

f(x)

2,8

7,84

2,9

8,41

2,95

8,7025

2,99

8,9401

2,999

8,994001

3,001

9,006001

3,01

9,0601

3,05

9,3025

3,1

9,61

3,2

10,24

Cuando x se aproxima a 3, los valores de f(x) se acercan a 9. Se dice que f(x) tiende a 9 cuando x tiende a 3.

Límite de x^2 cuando x->3

En general, una función f(x) tiende a un límite b cuando x tiende a a, si f(x) difiere arbitrariamente poco de b para todo x situado suficientemente cerca de a.
En símbolos, limx->af(x)=b.

Enseguida se expresa más precisamente la definición de límite.
Definición Límite finito de una función

limx->a f(x)=b <=> para todo ε>0 existe δ>0 / para todo x, 0 < |x-a| < δ |f(x) - b| < ε.

Otra notación:

limx->a f(x)=b <=> para todo Eb,ε existe un E*a,δ / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece a Eb,ε.

Se dice que la función f(x) tiene límite b, cuando x tiende a a, si dado ε positivo arbitrario y tan pequeño como se quiera, existe un δ tal que para todo x perteneciente al entorno reducido de a de radio δ, la función pertenece al entorno de b de radio ε.

Dicho de otro modo, para cualquier número positivo ε, por pequeño que sea, podemos encontrar un δ tal que para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) está dentro del entorno de b de radio ε.

Ilustración geométrica del límite

limx->af(x)=b significa que por más pequeño que sea el entorno considerado alrededor de b, va a ser posible encontrar un entorno de a, para cuyos valores x (x ≠ a), la función f da como resultado valores que están dentro del entorno de b considerado.

En otras palabras, la función f(x) tiene límite b, cuando x tiende a a, si el valor de la función f(x) se hace arbitrariamente próximo al valor b cuando x se aproxima al valor a.

Notar que la definición dice entorno reducido de a. Es decir que f(a) puede no existir, o puede estar fuera del entorno de b, pero el límite de f cuando x tiende a a sigue siendo b.

Función discontinua en a con límite finito en dicho punto

f(a) ≠ b, pero limx->af(x)=b
Teoremas sobre límites
Teorema Unicidad del límite de una función

Si una función tiene límite es único.
H) Existe limx->af(x)=b
T) b es único

Definición Límites laterales

Límite de f(x) en el punto a por la derecha :
limx->a+f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) |f(x) - b| < ε.
Límite de f(x) en el punto a por la izquierda :
limx->a-f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) |f(x) - b| < ε.

Nota: x->a+ indica que x tiende a a por la derecha, es decir que x pertenece al entorno (a,a + δ).
x->a- indica que x tiende a a por la izquierda, es decir que x pertenece al entorno (a - δ,a).

A veces las funciones son discontinuas o no están definidas en un punto a, pero son continuas a uno y otro lado. En estos casos, el límite por la izquierda puede ser distinto del límite por la derecha.
Ejemplo

f(x) = x2 si x <= 2

-2x + 1 si x > 2

Ilustración geométrica de los límites laterales

limx->2-f(x)=4
limx->2+f(x)=-3
No existe limx->2f(x)
Teorema

Existe el límite finito de una función <=> los límites laterales son iguales.
H) limx->af(x)=b
T) limx->a+f(x) = limx->a-f(x) = b

Teorema

Conservación del signo

Para valores de x suficientemente próximos al valor de tendencia, la función tiene el mismo signo que su límite.
H) limx->af(x)=b > 0
T) Existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) > 0

Nota: El teorema también se cumple para valores negativos.
Si la función tiene distinto signo en la mitad izquierda del entorno de a que en la mitad derecha, entonces su límite en a vale 0.
Teorema de la función comprendida

Si una función está comprendida entre otras dos que tienen igual límite cuando x tiende a a, entonces tiene el mismo límite.
H) limx->af(x) = limx->ag(x) = b
Existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) <= h(x) <= g(x)
T) limx->ah(x)=b

Teorema de la acotación

Si una función tiene límite finito cuando x tiende a a, entonces está acotada en un entorno reducido de a.
H) limx->af(x)=b
T) Existe δ > 0 y existen h y k reales / para todo x perteneciente al E*a,δ h < f(x) < k
Límite infinito

Observemos la función f(x)=1/x2 para valores de x positivos muy grandes.

x

f(x)

100

1,0x10-4

1.000

1,0x10-6

10.000

1,0x10-8

100.000

1,0x10-10

1.000.000

1,0x10-12

Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez más cerca de 0. Si x es suficientemente grande podemos conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito.

Ilustración geométrica del límite infinito

Veamos a continuación las definiciones precisas de cada uno de los límites que involucran al infinito.

Definición Límite infinito

Caso 1:

limx->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) > A.

El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A.

En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf.

lim f(x) = +inf cuando x->a

Caso 2:

limx->af(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) < -A.

lim f(x) = -inf cuando x->a

Caso 3:

limx->+inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) > A.

lim f(x) = +inf cuando x->+inf

Para cualquier número positivo A (por grande que sea), es posible encontrar un número positivo B tal que para todos los x mayores que B, f(x) es mayor que A. Es decir que f(x) puede ser mayor que cualquier número, si x es lo suficientemente grande.

Caso 4

limx->+inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) < -A.

lim f(x) = -inf cuando x->+inf

Caso 5:

limx->-inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) > A.

lim f(x) = +inf cuando x->-inf

Caso 6:

limx->-inff(x) = -inf <=> para todo A < 0 existe B < 0 / para todo x < -B f(x) < -A.

lim f(x) = -inf cuando x->-inf

Caso 7:

limx->+inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) pertenece al Eb,ε.

lim f(x) = b cuando x->+inf

Caso 8:

limx->-inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) pertenece al Eb,ε.
lim f(x) = b cuando x->-inf

Continuidad

Función continua

f(x)=x2

Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.

Función discontinua

f(x)=sgn x

En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.

La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.

Expresemos esto en términos del concepto de límite...

Definición Continuidad

Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).

Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe ser igual a f(a).

Ejemplos de discontinuidad

f(x)= 1/x2

Discontinua en x=0 (No existe f(0))

f(x) = x2 si x <= 2
2x - 4 si x > 2

Discontinua en x=2.

Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0

Sin embargo, si miramos la función para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por la izquierda".

Definición Continuidad por la izquierda

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y limx->a-f(x) = f(a).

DefiniciónContinuidad por la derecha

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y limx->a+f(x) = f(a).

La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.
Definición Continuidad en un intervalo cerrado [a,b]

Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si:
f es continua en a por la derecha
f es continua en b por la izquierda
f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a,b)
Clasificación de discontinuidades
Evitable

Caso A:

No existe f(a) pero existe limx->af(x).

Ejemplo:

f(x)= e-1/x2 + 2

No existe f(0) pues anula un denominador.

limx->0-f(x) = limx->0+f(x) = 2 o sea limx->0f(x)=2

Podemos extender la definición de la función, asignándole en el punto a el valor del límite, con lo cual la función se torna continua. Por ello este tipo de discontinuidad se denomina evitable.

Caso B:

Existe f(a) y existe limx->af(x)=b pero b≠f(a).
(Existe f(a) pero es distinto al valor del límite).

Ejemplo:

f(x) = x2 si x≠2
8 si x=2

f(2) = 8
limx->2 f(x) = 4

Asignándole a la función el valor 4 en x=2, se elimina la discontinuidad.
No evitable
1ª especie:

limx->a-f(x) ≠ limx->a+f(x).
(Los límites laterales son distintos).

Ejemplo:

f(x) = x/(x - 2)

limx->2-f(x) = -inf
limx->2+f(x) = +inf
2ª especie:

No existe limx->a-f(x) o no existe limx->a+f(x).
(No existe por lo menos uno de los límites laterales).

Ejemplo:

f(x) = \|x2 - 4

En x=-2 y x=2 la función presenta discontinuidades no evitables de 2ª especie. No existe limx->-2+f(x) y no existe limx->2-f(x).
Operaciones con funciones continuas

Si f y g son funciones continuas en x=a, la suma, multiplicación y cociente de f y g (con g(a) ≠ 0) son funciones continuas en x=a.

H) f(x) es continua en x=a.
g(x) es continua en x=a.
T) f(x) + g(x) es continua en x=a.
Teorema
Continuidad de la función compuesta

H) f es continua en x=a.
g es continua en x=f(a).
T) g o f es continua en x=a.

Derivada y aplicaciones

1. Tasa de variación media
Incremento de una función

Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando al valor a +h, entonces f pasa a valer

f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
Tasa de variación media

Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio) T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo

[a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:

Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función

f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]

Solución

2. Tasa de variación instantánea. La derivada

Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).

Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir :

Ejemplo 2. Las derivadas laterales de la función http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image011.gifen x =0 son 1 y –1.

función

Funciones hiperbólicas

En ciertas ocasiones las combinaciones de ex, e-x aparecen frecuentemente. En tales ecuaciones, se acostumbra escribir el modelo matemático que le corresponde utilizando las funciones hiperbólicas definidas como sigue:

* f(x) = senh x = , x " R, se denomina función seno hiperbólico.

* f(x) = cosh x = , x " R, se denomina función coseno hiperbólico.

* f(x) = tgh x = , x " R, se llama función tangente hiperbólico.

* f(x) = cotgh x = , x " 0, se llama función cotangente hiperbólico.

* f(x) = sech x = , x " R, se llama función secante hiperbólico.

* f(x) = cosch x = , x " 0, se llama función cosecante hiperbólico.

Con la ayuda de las derivadas y los límites para hallar los extremos, concavidades y asíntotas, se pueden graficar estas funciones fácilmente. Su gráficos se muestran en las siguientes figuras.

Funciones hiperbólicas

Funciones hiperbólicas

Funciones hiperbólicas

Funciones hiperbólicas

Funciones hiperbólicas

Funciones hiperbólicas

Considerando las definiciones de cada una de las funciones hiperbólicas, se puede mencionar algunas propiedades tales como:

* senh(x) = 0 ! x = 0, cosh(x) = 1 ! x

* Son funciones impares, [f(-x) = - f(x)] y por tanto sus gráficas son simétricas respecto al origen, las funciones:

f(x) = senh x ; f(x) = tgh x; f(x) = cotgh x; f(x) = cosch x

* Son funciones pares, [f(-x) = f(x)] y por tanto sus gráficas son simétricas respecto al eje y, las funciones:

f(x) = cosh x; f(x) = sech x

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